Analyse Mathematique I: Convergence, fonctions elementaires



Roger Godement, "Analyse Mathematique I: Convergence, fonctions elementaires"
Sp,,,ger | 1998 | ISBN: 3540632123 | 432 pages | Djvu | 5,2 mb

Roger Godement, un ancien du groupe Bourbaki, a écrit ici un excellent ouvrage aux antipodes du style aride et strictement logique utilisé dans les oeuvres de Bourbaki. Il est clairement destiné aux débutants aimant les mathématiques et est donc à conseiller comme complément de lecture à tout étudiant en mathématiques (et leurs enseignants aussi bien sûr!). Il ne s'oblige certainement pas à respecter le "programme officiel" (d'ailleurs celui-ci change un peu trop souvent) mais il est certainement lisble avec grand profit par toute personne portant intérêt aux bases de l'analyse mathématique. Il est tout aussi clairement centré sur l'explication et le développement théorique des bases du calcul infinitésimal. Godement ne ménage pas sa peine pour motiver les notions introduites et nous proposer des exemples historiques éclairants dès le début de l'ouvrage. Même le connaisseur averti trouvera matière à des surprises heureuses car l'auteur présente souvent plusieurs démonstrations de grands théorèmes ou de grands exemples. D'ailleurs, après un chapitre introductif (mais intéressant)sur les ensembles qui n'est là que pour expliquer le concept d'ensemble selon Godement et rappeler les règles élémentaires sur les concepts ensemblistes de base,l'auteur développe le concept de convergence pour les suites en évitant l'abus des preuves trop formelles. Son style personnel très volubile mais certainement pas confus lui permet d'éviter l'aridité qu'on rencontre trop souvent dans les ouvrages actuels d'initiation à l'analyse. Dès la fin de ce second chapitre, le lecteur est en possession d'outils puissants permettant en particulier le calcul différentiel et intégral des fonctions dérivables, avec nombres d'exemples, et la théorie des suites et des séries entières (avec nombres d'exemples aussi et même le tout début de la théorie des fonctions elliptiques en présentant la fonction P de weierstrass !).Le troisième chapitre est consacré à la "convergence continue", traitée de la même manière volubile mais certainement pas rébarbative(limites de fonctions, continuité, dérivabilité, intégrale des fonctions continues d'une variable, continuité et dérivabilité des fonctions de plusieurs variables rélles) là encore avec un grand nombre d'applications parfois étonnantes.
Enfin , le dernier chapitre présente les différents moyens d'obtenir rigoureusement, en utilisant les outils des deux chapitres précédents, les différentes grandes fonctions élémentaires (souvent présentés dans leurs extensions au plan complexe: logarithme, exponentielle, fonctions trigonométriques, etc et les liens fondamentaux qui existent entre elles. là encore il y a des surprises).
C'est un texte où tout théorème ou proposition trouve sa (ou ses) démonstration. Il est donc "rigoureux" mais il est passionnant et certainement extrêmement instructif. Bien sûr il a ses défauts (l'auteur est connu pour ses positions antimilitaristes et il ne les cache pas, au contraire, dans ce livre. le lecteur peut de toutes façons sauter les passages en question), il y a peu d'exercices (mais, vu la masse impressionnante de livres d'exercices d'analyse, Godement a sans doute jugé peu utile d'en rajouter) mais même ainsi le lecteur devrait pouvoir retirer de la lecture de cet ouvrage une bonne compréhemsion de la structure globale du calcul infinitésimal, s'il veut absolument s'entrainer à manipuler ce qu'il aura appris, qu'il achète en complément des livres d'exercices ou de problèmes d'analyse de DEUG ou de Classe Prépa.

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